Page 110 - 《应用声学》2023年第6期
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                 现有的多项式结构宽带波束形成器设计中,多                          式(13) 中DI(ψ |ψ i ), i = 0, · · · , I − 1 表示将 ψ i (i =
             项式插值点的位置选择往往都是均匀分布的,插值                            0, · · · , I − 1) 作为波束形成器插值点而计算得到的
             点位置的自由度没有得到充分利用,忽视了插值点                            DI。
             位置的优化对提升波束形成器性能的贡献。为克服                            3.3  优化问题的求解
             这一缺点,在优化问题式 (12) 的基础上,进一步提
                                                                   图3给出了基于插值点优化的多项式结构宽带
             出将插值点优化纳入多项式结构波束形成器设计
                                                               波束形成器设计方法的整体框图,其中主要包括求
             中。考虑到优化问题式(12)由于引入了空间导数约
                                                               解插值点优化问题和滤波器频率响应优化问题两
             束造成阵列 DI 下降,因此在优化插值点时,采用 DI
                                                               部分。注意到,在求解插值点优化问题式(13)时,其
             作为代价函数,以通过插值点的优化提升设计性能。
                                                               代价函数的计算涉及到滤波器频率响应,因此在框
             插值点优化的问题可以表述为
                                                               图中滤波器频率响应优化到插值点优化之间存在
                                                               反馈环节。下面分别讨论如何实现滤波器频率响应
                max [min DI(ψ |ψ i )] , i = 0, · · · , I − 1,  (13)
                                                               优化和插值点位置优化。
                 ψ i


                                 ፌࠀฉౌ          ଣϙགψ i ᄊ͖ӑ          ໚ฉ٨            ᣥѣతጼᄊ
                              ॎੇ٨ᄊ᝺ᝠԠ஝                         ᮠဋ־ऄwᄊ͖ӑ          ໚ฉ٨ᮠဋ־ऄ

                                图 3  基于插值点优化的多项式结构宽带波束形成器设计方法的整体框图
                Fig. 3 Block diagram of polynomial broadband beamformers design based on interpolation point optimization
             3.3.1 滤波器频率响应的优化                                  不适合求解该类问题。考虑到粒子群算法具有易于
                 首先分析滤波器频率响应的优化问题 (12)。                        实现、收敛快、精度高等优点              [16] ,这里采用智能优
             注意到,优化问题式 (12) 中的代价函数式 (12a) 是                    化算法中的粒子群算法求解插值点位置优化问题
             凸函数,而无失真约束式 (12b) 为线性的,因此                         式 (13)。
             无失真约束也为凸约束。考虑到线性约束条件                                  首先,将优化问题 (13) 中的代价函数转化为
             式 (12b),对于 WNG 约束条件式 (12c) 可等价地转                  粒子群算法中的适应度函数。为叙述方便,设单
                 
  T              
 2    −1
             化为 w (f q )[I k ⊗ s(D)] 
  6 γ  ,因此约束条件           个插值点粒子位置为 a = [ψ 0 , · · · , ψ I−1 ],速度为

             式 (12c) 也为凸约束。接下来考虑空间导数约束                         V = [V 0 , · · · , V I−1 ],根据优化问题式 (13),适应度
             式 (12d)。为了表示简便,令                                  函数定义为

                          {  T                    }
               G(w) = Re w (f q ) [h(f q , ψ i ) ⊗ s(D)] ,  (14)
                                                                            F(a) = min DI(ψ |a).         (16)
             则对于任意λ ∈ [0, 1],有以下关系成立:
                                                                   在引入适应度函数之后,相应的插值点优化过
             λG(w 1 )+(1 − λ)G(w 2 )=G(λw 1 )+G[(1 − λ)w 2 ].  程如下:
                                                       (15)
                                                                   (1) 给定粒子位置边界 ψ max 、ψ min 及速度边界
             这意味着 G(w) 是一个仿射函数。而对于仿射函数                         V max 、V min ,对种群进行初始化,得到粒子初始位置
             也是凸函数,因此空间导数约束式 (12d) 同样也是                        a 和速度 V ,其中,u = 0, · · · , U − 1,U 代表粒子
                                                                          u
                                                                u
                                                                0
                                                                          0
             一个凸约束。所以,优化问题式 (12) 是一个凸优化                        群算法中的种群大小。根据粒子初始位置计算对应
             问题,可以使用常用的凸优化工具箱 CVX 进行高                          适应度函数值,其中DI的大小是通过将式(12)求解
             效求解   [15] 。                                      得到的频率响应代入式 (5) 得到,通过式 (17) 获取
             3.3.2 插值点位置的优化                                    粒子个体最优解的初始位置 ˆ a 和种群最优解的初
                                                                                          u
                                                                                          0
                                                                       g
                 接下来,讨论插值点位置的优化问题式 (13)。                       始位置 ˆ a :
                                                                       0
             相对于优化问题式 (12),插值点位置的优化要复杂                                    
                                                                              u
                                                                                   u
                                                                            ˆ a = a ,
             得多,因为其代价函数为 DI,是关于插值点位置的                                         0    0                     (17)
                                                                              g
                                                                                              u
                                                                            ˆ a = arg max{F(ˆ a )}.
             高维、非线性、非凸的函数。常规的凸优化等方法                                           0               0
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