Page 169 - 《应用声学》2025年第1期

第 44 卷 第 1 期 王绪虎等： 平行线阵扩展协方差矩阵二维波达方向估计方法 165

(2M − 2) × (2M − 2) 和 (2M − 2) × (M − 1) 的全
其中，A (n 1 : n 2 ) 表示截取矩阵 A 的第 n 1 到第 n 2
行，根据式(8)可知，A 1 与A 2 满足A 2 = A 1 P 。 零矩阵，因此可以得到
对扩展协方差矩阵进行奇异值分解可得到
ˆ
ˆ
I 1 AΩ = I 2 A. (23)
H
R = U s Σ s V s H + U n Σ n V , (14) 对式(23)进行变换可得到对角矩阵Ω 的估计值Ω：
ˆ
n
+
)
其中，U s 为信号子空间，U n 为噪声子空间。 Ω = I 1 A ) ( I 2 A , (24)
(
ˆ
ˆ
ˆ
有一个满秩方阵T ，满足式(15)：
ˆ
从而得到有关矩阵 Ω 的角度信息，对 Ω 进行特征
U s = AT . (15) 值分解得到的对角元素特征值为 τ 1 , τ 2 , · · · , τ K ，其
中，τ k = e −j2πd sin(θ k )/λ ，因此可得到俯仰角θ k 的估
根据式(12)、式(13)对信号子空间U s 进行分块：
计值，
 
U s (1 : M − 2) ( angle (τ k ) )
ˆ
  θ k = sin −1 − , (25)
  2πd/λ
U s (M : 2M − 3)
 
U 1 =   , (16)
  其中，angle(·) 表示相角。根据式 (19)、式(25)，可以
 U s (2M − 1 : 3M − 4) 
得到方位角φ k 的估计值：
 
U s (3M − 2 : 4M − 5)
( )
  −1 angle (γ k )
U s (2 : M − 1) ˆ φ k = sin − ( ) . (26)
ˆ
  cos θ k · 2πd/λ
 
 U s (M + 1 : 2M − 2)  在实际估计过程中，Y 1 (t) 的自相关矩阵和
U 2 =   . (17)
 
U s (2M : 3M − 3)
  Y 1 (t)与Z 1 (t)、Z 1 (t)与Y 1 (t)、Z 1 (t)与Y 2 (t)之间的
 
U s (3M − 1 : 4M − 4) 互协方差矩阵需要用有限数量的快拍数进行估计：
L
根据式 (8)、式 (15)，可以得出 U 1 = A 1 T ，U 2 = ˆ 1 ∑ H
R y1y1 = Y 1 (t)Y (t),
1
A 2 T = A 1 P T ，根据U 1 和U 2 的关系构造矩阵F ： L t=1
L
1 ∑ H
ˆ
+
−1
F = U U 2 = T P T . (18) R y1z1 = Y 1 (t)Z (t),
1 1
L
t=1 (27)
+
其中，[·] −1 和[·] 分别表示矩阵的逆和伪逆。 1 ∑
L
H
ˆ
R z1y1 = Z 1 (t)Y (t),
对 矩 阵 F 进 行 特 征 值 分 解 得 到 的 特 征 值 L 1
t=1
为 γ 1 , γ 2 , · · · , γ K ， 特征向量为 t 1 , t 2 , · · · , t K ， 其 1 ∑
L
H
ˆ
R z1y2 = Z 1 (t)Y (t),
中，γ 1 , γ 2 , · · · , γ K 是有关 P 的角度信息，且 γ k = L 2
t=1
e −j2πd cos(θ k ) sin(φ k )/λ ，因此，
其中，L为快拍数。
( ) angle (γ k )
ˆ
cos θ k sin ( ˆφ k ) = − . (19) 2.3 计算步骤
2πd/λ
步骤 1 根据式 (27) 计算协方差矩阵估计值
矩阵 T −1 的估计值为 T ˆ −1 = [t 1 , t 2 , · · · , t K ]，
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
R y1y1 、R y1z1 、R z1y1 和R z1y2 ；
ˆ
由式(15)可以得到矩阵A的估计值A：
ˆ
ˆ
步骤 2 对 R y1y1 去除噪声之后得到 C y1y1 ，由
ˆ
A = U S T ˆ −1 . (20) 式(10)构造一个新的扩展协方差矩阵R；
ˆ
定义矩阵 I 1 和 I 2 ，对矩阵 A 的估计矩阵 A 进 步骤 3 对 R 进行奇异值分解得到信号子空间
行筛选： U s ，通过式(16)、式(17)定义U 1 和U 2 ；
步骤4 根据式(18)得到构造矩阵F ，对F 进行
[ ]
I 1 = I 2M−2 , O (2M−2)×(2M−2) , (21)
特征值分解，根据式 (19) 得到 cos(θ k ) sin(φ k ) 的估
[ ]
I 2 = O (2M−2)×(M−1) , I 2M−2 , O (2M−2)×(M−1) , 计值cos(θ k ) sin( ˆφ k )；
ˆ
(22) 步骤 5 根据式 (24) 得到对角矩阵 Ω 的估计值
ˆ
ˆ
其 中， I 2M−2 表 示 秩 为 2M − 2 的 单 位 矩 阵， Ω，对 Ω 进行特征值分解，根据式 (25) 得到俯仰角
ˆ
O (2M−2)×(2M−2) 和 O (2M−2)×(M−1) 分 别 表 示 θ k 的估计值θ k ；