Page 138 - 《应用声学》2025年第2期

398 2025 年 3 月

两侧表面声压p和质点法向振动速度 v 之间的联系，
1 梯度材料吸声模型
如式(5)所示：
       
JCA 模型是多孔材料常见的吸声模型，该模型 p i p i+1 T i,11 T i,12 p i+1
=
  =T i       , (5)
以 Biot 理论 [19] 为基础，采用九大参数中的 5 个声
v i v i+1 T i,21 T i,22 v i+1
学参数建立模型，将多孔材料的骨架看作刚性的，并
式(5)中，矩阵[T i ]是第i层材料的传递矩阵，表示为
将通孔形状简化为圆柱形，考虑了声波在介质中的  
黏惯性耗散和热耗散效应。TMM 是用于研究多层 cos(k i d i ) i sin(k i d i )Z i
[T i ] =   , (6)
材料串联排放和不同介质间声传播特性的常用方 i sin(k i d i )/Z i cos(k i d i )
法。本文使用JCA模型及TMM建立梯度流阻率材 式(6)中，Z i 为第i层材料的特征阻抗，k i 为第i层材
料的吸声模型。 料的复波数。在传递矩阵[T i ]的输入参数中，流阻率
JCA模型引入孔隙率、流阻率、曲折度、黏性特 以梯度形式变化。由式 (5)∼(6) 得到 n 层梯度材料
征长度以及热特征长度描述材料吸声性能。这5 个 第一层外侧声压 -质点振速 [p 1 v 1 ] 与第 n 层外侧
T
T
参数被用来获取多孔材料的等效密度和等效体积 声压-质点振速[p n v n ] 的关系表示为
模量，其表达式分别如下，模型中涉及的符号及其含    
p 1 p n
义如表1所示。   = [T]  
( √ ) v 1 v n
2
σϕ 4α ρ 0 ηω
α ∞ ρ 0    
ρ eq = 1+ 1+j ∞ , (1) n
2 2
2
ϕ jωα ∞ ρ 0 σ Λ ϕ ∏ cos(k i d i ) i sin(k i d i )Z i p n
=     , (7)
K eq = i=1 i sin(k i d i )/Z i cos(k i d i ) v n
−1 式 (7) 中，[T] 为总传递矩阵。由于材料背衬刚性壁，
 
  所以最后一层材料外侧的质点振动速度为 0，由
γP 0  γ − 1 
 γ − √  .
ϕ  ′2  式 (7)可得
 8jη Λ P r ρ 0 ω 
1 − 1+j T T
′2
Λ P r ρ 0 ω 16η [ p 1 v 1 ] = [ a 11 p n a 21 p n ] , (8)
(2)
式 (8) 中，a 11 和 a 12 为 [T] 中第一列元素。因此梯度
由式(1)∼(2)，特征阻抗Z c 和复波数k c 为 材料的表面阻抗Z s 表达式为
√ p 1 a 11
Z c = ρ eq K eq , (3) Z s = = . (9)
v 1 a 21
√
k c = ω ρ eq /K eq . (4)
ܳߘెநࡏ1 ܳߘెநࡏ n
梯度多孔材料的示意图如图 1 所示。 使用
♭T ] n֓ ♭T n]
TMM 可计算其吸声系数，这种方法建立了材料 ቇඡ۫ P ♭T i]
i/
P  P  P n֓ P n
表 1 各项符号及其含义 К࠱ܦฉ v  v  v n֓ v n
Table 1 Each symbol and its meaning Ā
符号 含义 符号 含义
Ԧ࠱ܦฉ
ϕ 孔隙率 ρ 0 空气密度
ծஆܦᑟ ծஆܦᑟ
σ 流阻率 η 空气黏滞系数
{φ, α @ , Λ, Λ∋, σ} {φ, α @ , Λ, Λ∋, σ∋}
曲折度 γ 空气绝热系数
α ∞
Λ 黏性特征长度 P r 普朗特数
σ+kDσ
Λ ′ 热特征长度 ρ eq 等效密度  d ↼n֓↽d nd
ω = 2πf 角频率 K eq 等效体积模量
图 1 声波传入梯度流阻率多孔材料示意图
大气压强 j 虚数单位
P 0
Fig. 1 Schematic of sound wave transmission into
空气中声速 α 吸声系数
c 0
a porous material with gradient airflow resistivity