Page 209 - 应用声学2019年第4期

第 38 卷 第 4 期 程雪等： 低复杂度的 MIMO 声呐协方差矩阵重构方法 669

ˆ
G可以表示为 对 R 进行特征值分解，可以得到 (M + N − 1) × K

  维的信号子空间 U s 和噪声子空间 U N 。因此，可以
1 0 · · · 0 0 · · · 0 


 进一步构造MUSIC算法的空间谱函数：
  
0 1 · · · 0 0 · · · 0
  

 
 . . . . . . . M  1
 . . . . . .  ] .
 . . . . . . .   P (θ) = [ 1 ] H [ 1
. 

 H H H
   (G G) 2 b(θ) U n U n (G G) 2 b(θ)

  
 0 0 · · · 1 0 · · · 0 
   (8)
 

 0 1 0 · · · 0 · · · 0  

   影响算法复杂度的主要因素有三个：协方差

  

 0 0 1 · · · 0 · · · 0  矩阵的构造、特征值分解和谱峰搜索。为了进一步
 . . . . . . . . . . . M 

. .
G =  . . . . . . .   降低计算复杂度，可以选择不需要谱峰搜索、计算
. 


  

  

 0 0 0 · · · 1 · · · 0  复杂度更低的 ESPRIT算法。构造新的信号子空间
 
H
 . .  E = (G G) − 1 2 U s ，由此可以得到E 1 和E 2 ：
 . 
 
    
 
 0 · · · 0 1 0 · · · 0  

   E 1 e 1
 E =   =   , (9)
  

 0 · · · 0 0 1 · · · 0   e M+N−1 E 2
 
 . . . . . . . M 
 . . . . . . . . . . . . .   1×K 1×K

 .   其中，e 1 ∈ C 和 e M+N−1 ∈ C 分别为 E 的


 + +
0 0 0 0 0 · · · 1  第一行和最后一行。可以得到矩阵ψ = E E 2 ，()
1
∈ C MN×(M+N−1) . (5) 表示广义逆。
根 据 表 达 式 (5)， 可 以 得 到 降 维 变 换 矩 阵 3 数值仿真与分析
H
H
W = (G G) − 1 2 G ，对回波信号的协方差矩阵
进行处理，可以得到 为了验证协方差矩阵重构方法的有效性，将
利用文中提到的两种测向算法 (MUSIC 算法和 ES-
R = W R Y Y W H
PRIT 算法) 进行测向，并对算法的性能进行分析。
H
2
= W AR BB A W H + σ I M+N−1 . (6)
n 通过不同的仿真条件，对比两种不同的算法在测向
由式 (6) 可以看出，降维变换并没有引起色噪 性能上的优势和不足。仿真实验中采用的是密布式
声。为了保证协方差矩阵的不相干性，对降维后的 MIMO 声呐线列阵，发射和接收阵列的几何中心重
协方差矩阵进行去相干处理。由于降维变换已经 合，阵元数 M = N = 8，阵元间距都为半波长。目
损失了一部分的自由度，如果采用最常用的空间平 标数目为K = 2，来波方向为θ 1 = −10 , θ 2 = 5 。
◦
◦
滑法去相干，会导致 MIMO 声呐阵列的自由度进 首先分析算法的复杂度。影响复杂度的主要
一步减小，从而降低可探测目标数，将会严重影响 因素有协方差矩阵的构造、特征值分解和谱峰
MIMO 声呐的优势。因此，采用 Toeplitz 方法进行 搜索。因此，传统 MUSIC(以下简称 MUSIC) 算法
2 2 3 3
去相干处理，保证了阵列自由度，同时也保证了协方 的复杂度为 O{M N L + M N + n[MN(MN −
差矩阵内信号的不相干性。 K) + MN − K]}， 其中 L 为快拍数，n 为谱峰
1 搜 索 的 次 数。 低 复 杂 度 协 方 差 矩 阵 重 构 MU-
ˆ r mn = ˆr(m − n) =
M + N − 1 − (m − n) SIC 算法 (以下简称低复杂度 MUSIC 算法) 的复
2
3
M+N−1−(m−n) 杂 度 为 O{(M + N − 1) L + (M + N − 1) +
∑
× ˆ r i(i+m−n) , m 6 n,
n[(M + N − 1)(M + N − 1 − K) + M + N −
i=1
1 −K]}。 传统 ESPRIT 算法 (以下简称 ESPRIT
ˆ r mn = ˆr(m − n) = ˆr(−(m − n)) = ˆr C ,
mn { 2 2 3 3 3 }
算 法) 的 复 杂 度 为 O M N L + M N + K 。
m > n, (7)
低 复 杂 度 协 方 差 矩 阵 重 构 ESPRIT 算 法 (以
C
式(7)中，( ) 表示共轭，ˆr mn 表示矩阵中第m行、第 下 简 称 低 复 杂 度 ESPRIT 算 法) 的 复 杂 度 为
{
ˆ
n 列的元素，所得到的新的协方差矩阵用 R 表示。 O (M + N − 1) L + (M + N − 1) + K 3 } 。
2
3